已知三角形三边长， 如何解三角形？
什么是三角形？
- 给定三个不共线的点 A、 B、 C， 由这三个点构成的集合， 连同线段 AB、 BC 和 CA 上所有点构成的集合， 称为由点 A、 B、 C 确定的三角形。 参见图中三角形 △ABC 的表示。
三角形△ABC - 三角形是平面上构成多边形的点集， 该多边形具有 三个顶点，A、 B、 C； 三条边， AB、 BC、 CA； 以及 三个角， ∠ABC、 ∠BCA、 ∠CAB （或者， 如果没有混淆， 也可以表示为 ∠A、 ∠B、 ∠C）。
- 在本例中， 顶点 A 是两条边 AB 和 AC 的交点。 三个顶点 A、 B、 C 由三条线段 AB、 BC、 CA 连接， 这三条线段称为边， 它们构成三个角 ∠ABC、 ∠BCA、 ∠CAB， 这三个角的和为 180° （我们在下面演示这一点）。
- 三角形的边长由线段 AB、 BC 和 CA 的长度决定。
- 三角形通常按字母顺序用其顶点来表示： △ABC。 但同一个三角形也可以写成： △ACB、 △BAC、 △BCA、 △CAB、 △CBA——也就是说，使用这三个字母的所有组合。
- 在三角形 △ABC 中， 角 ∠A 对应边 BC， 反之亦然， 边 BC 对应角 ∠A。 三角形 △ABC 的边长通常用以下符号表示： a = BC， b = CA， c = AB。
三角形 △ABC 及其 a、 b、 c 边 - 当三条边长度相等时， 该三角形称为等边三角形； 而只有两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。 当三角形的三边长度不相同时， 它被称为不等边三角形。
三角形的周长和半周长
- 周长： 三角形△ABC三边长度之和称为三角形的周长， 记为
PABC = AB + BC + CA = c + a + b。 - 半周长： 三角形△ABC三边长度之和的一半称为三角形的半周长， 记为
pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2
点相对于三角形的位置
- 如果一个点位于三角形的每个角内， 则称该点为三角形的内点。
- 既不在三角形内也不在三角形边上的点称为三角形的外点。
三角形的角度类型
- 角为 90° 的三角形也称为直角， 称为直角三角形。 如果直角是A， 则形成直角的边AB和CA称为边。 与直角 BC 相对的边称为斜边。 三角形不能有多个直角 - 因为三角形的三个角之和必须为 180° - 如果有两个直角， 它们已经是 90° + 90° = 180°， 第三个角就没有了。
直角三角形△ABC - 具有所有锐角的三角形称为锐角三角形或锐角斜角线： ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
锐角斜角三角形△ABC - 具有钝角 （即大于 90°） 的三角形称为钝角三角形或钝角三角形： 在我们的例子中， ∠A > 90°.
钝角三角形△ABC - 具有所有相等角的三角形， 也称为全等三角形， ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°， 称为等边三角形。 在等边三角形中， 所有边也全等： AB ≅ BC ≅ CA.
等边三角形△ABC - 只有两个全等角的三角形， 例如 ∠B ≅ ∠C， 称为等腰三角形。 在等腰三角形中， 与全等角相对的边也全等。 等腰三角形的第三条边称为等腰三角形的底。
等腰三角形△ABC
三角形的特定规则
- 1.三角形内角的和始终等于 180°。 参见下图及相关证明。
- 设△ABC为三角形。 我们构造从 A 到 BC 的平行线 d， 点 D 和 E 位于直线 d 上， 如图所示。 D、 A、 E 点位于同一条直线上， 共线。 因此 DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - 是 DE ∥ BC 和割线 AB 的交替内角， (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - 是 DE ∥ BC 和割线 AC 的交替内角。 由(1)、 (2)可得三角形△ABC内角和的关系： ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
三角形内角的和 - 2.在三角形中， 任意两条边的长度之和必须大于第三条边的长度， 否则三角形无法构造。 在下图中， 您可以看到边a的长度大于b和c的长度之和： a > b + c。 此时三角形△ABC根本无法构造。
不可能的三角形： 边 - 3.三角形只能有一个大于或等于 90° 的角。 如果三角形有两个至少 90° 的角， 则根据规则 1， 第三个角就没有了。 1. 在我们的例子中， 因为 ∡B = 90° 且 ∠C > 90°， b边和c边不能相交形成三角形△ABC的顶点A。
不可能的三角形： 角 
外角4。 与三角形的一个角相邻且互补的角称为三角形的外角。 任何三角形都有三对外角， 总共六个外角。 三角形的每个角都有两对彼此全等的外角， 在顶点处相反： 角 ∠A 有两个外角 ∠1 和 ∠2 - 其中 ∠1 ≠ ∠2， 角 ∠C 有两个外角 ∠3 和 ∠4 - 其中 ∠3 ≠ ∠4， 角 ∠B 有两个外角 ∠5 和∠6， 其中 ∠5 ≠ ∠6。
三角形外角的大小等于与它不相邻的角的大小之和， 因为 ∠A + ∠B + ∠C = 180° 且 ∠A + ∠1 = 180°， 所以有： ∡1 = 180° - ∠A 且 ∡1 = ∠B + ∠C;同样， ∡2 = 180° - ∠A 且 ∡2 = ∠B + ∠C； ∡3 = 180° - ∠C 且 ∡3 = ∠A + ∠B； ∡4 = 180° - ∠C 且 ∡4 = ∠A + ∠B； ∡5 = 180° - ∠B 且 ∡5 = ∠A + ∠C； 最后 ∡6 = 180° - ∠B 且 ∡6 = ∠A + ∠C。
三角形所有外角的尺寸之和等于： ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.
- 5. 凡是有两条不相等边的三角形， 较大的边与较大的角相对。 如果a > b 和 a > c， 则 ∠A > ∠B 和 ∠A > ∠C.
较大的边与较大的角度相对
如果知道三角形的三边长， 如何解三角形？
- 已知三角形△ABC的三条边的长度 a、 b、 c， 其中a是对边 ∠A， b是对边 ∠B， c是对边 ∠C， 可以使用以下公式计算每个角度。
余弦定律 （或余弦规则） 的重新排列形式
- 当您知道所有三个边的长度时， 可以使用此公式计算任何三角形中的角度：
- ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
- ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
- ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
- 示例：知道三角形的边， a = 7, b = 5 and c = 9, 计算三角形的角 ∡A、 ∡B 和 ∡C：
- ∡A =
arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
arccos((25 + 32)) / 90) =
arccos(57/90) =
arccos(0.6333) =
0.88498643446628 弧度 =
50.705987621249 度 - ∡B =
arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
arccos((49 + 56)) / 126) =
arccos(105/126) =
arccos(0.8333) =
0.58574584298534 弧度 =
33.560764670393 度 - ∡C =
arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
arccos((49 + -56)) / 70) =
arccos(-7/70) =
arccos(-0.1) =
1.6709637479565 弧度 =
95.739170477267 度 - 检查角度之和 ∡A + ∡B + ∡C = 180°。
∡A = 50.705987621249° - ∡B = 33.560764670393°
∡C = 95.739170477267°
∡A + ∡B + ∡C =
50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
180.00592276891° ≈ 180°