已知三角形的三边长度： 14、 12 和 10， 求解三角形。 三角形计算器： 角度、 面积、 （半） 周长、 高度、 中线、 圆半径

• 下面逐步求解给定的三角形， 对所使用的公式进行了完整的解释， 对所使用的术语进行了清晰的解释， 并配有说明性图片。
• 最后， 将三角形的所有计算数据汇总在一节中。
• 求解三角形的步骤顺序： 1) 计算周长， 2) 半周长， 3) 角度的测量， 4) 三角形的面积 - 通过两种方法计算， 5) 三角形的三个高的长度， 6) 三角形的三个中线的长度， 7) 内切圆的半径， 8) 外接圆的半径。

不等边三角形

• 这是一个不等边三角形， 其所有边的长度都彼此不同， 但不是直角三角形。
• 三角形不是等边， 也不是等腰， 也不是直角， 这些都可以通过边长轻松确定。

这些公式源自余弦定律（或广义毕达哥拉斯定理）。

• m(∡A) = arccos(^{(b2 + c2 - a2)} / _{(2 × b × c)})
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• m(∡C) = arccos(^{(a2 + b2 - c2)} / _{(2 × a × b)})
• 其中：
• a 是三角形中角 ∠A 的对边
• b 是三角形中角 ∠B 的对边
• c 是三角形中角 ∠C 的对边

• 为什么是这个公式？ 余弦定律的证明

• 在任何非直角三角形 △ABC 中， 边长 BC = a、 AC = b 和 AB = c， 我们从顶点 A 引出与边 BC 垂直的垂线， 该垂线与 BC 相交于点 D。 我们记下边长 AD = h_a、 BD = a1 和 CD = a2， 其中 a1 + a2 = a。
• 

  余弦定律的证明

• 在直角三角形△ABD中， 我们有以下三角关系：
• sin(∠B) = ^h_a/_c => h_a = c × sin(∠B)
• cos(∠B) = ^a1/_c => a1 = c × cos(∠B)
• 在直角三角形△ADC中我们应用勾股定理：
• b² = h_a² + a2² <=>
• b² = h_a² + (a - a1)²

• ---

• 代入上式中的 h_a 和 a1：
• b² = c² × sin²(∠B) + (a - c × cos(∠B))² <=>
• b² = c² × sin²(∠B) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) + c² × cos²(∠B) <=>
• b² = c² × (sin²(∠B) + cos²(∠B)) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × (^h_a2/_c² + ^a12/_c²) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × ^{(h_a2 + a12)}/_c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>

• ---

• 在直角三角形中 △ABD h_a² + a1² = c² （毕达哥拉斯定理） =>
• ^{(h_a2 + a12)}/_c² = 1 =>

• ---

• b² = c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• cos(∠B) = ^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}
• 将函数 arccos 应用于等式两边：
• arccos(cos(∠B)) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}) =>
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• 使用相同的过程来计算角度 ∠A 和 ∠C 的测量值。

• 最后三个定义： π。 弧度。 角度

• 定义： π 表示圆的周长 C 与其直径 d 的恒定比率 （d = 2 × r，其中 r 是圆的半径）， 约为 3.14159， 通常估计为分数 ²²/₇。
  π = ^C/_d = ^C/_{(2 × r)}
• 

  角度测量： π。 弧度。 角度

• 定义： 弧度是角度测量的标准单位。 弧度等于圆弧的长度等于该圆的半径时形成的角度。 圆 （任何圆） 的周长 （长度） 正好有 2π 弧度。 1 弧度大约为 57.296°（度）。 360° = 2π 弧度，180° = π 弧度，90° = ^π/₂ 弧度, 45° = ^π/₄ 弧度。
• 定义： 角度通常以度 (°) 为单位进行测量。度是角度测量的标准单位。一个完整的圆所形成的角是360°。 钝角介于 (90° 和 180°) 之间。 直角是 90°。 锐角介于（0° 和 90°）之间。

• ∡A = 78.463040967186°
• ∡B = 57.121650435632°
• ∡C = 44.415308597169°

注意： 角度之和约为 180°， 而不是正好 180°。 这是因为我们执行了需要舍入的计算： 计算反余弦并将弧度转换为度数。

• 此方法比第二种方法需要更多步骤才能获得结果。
• 理论上， 两种计算公式都会得到完全相同的结果。 但在实际应用中， 当使用涉及舍入和近似的计算工具时， 最好使用步骤较少、 近似次数较少的计算方法。
• 这里提出的方法是为了演示目的， 我们将使用第二种方法来计算面积， 该方法涉及更少的步骤和更少的近似值。

• 经典公式：

• 三角形面积 = ¹/₂ × a × h_a
• 其中：
• a 是三角形中角 ∠A 的对边
• h_a = 从顶点 A 到边“a”(BC) 的高度 AD， 其中 D 属于包含线段 BC 的线。
• 

  高度h_a表示为边“b”和角度 C 的正弦的函数

• == 但我们不知道高度 h_a。 我们该如何进行？ ==
• 利用三角学， 在直角三角形△ADC (∡D = 90°)中， 在高度h_a的右侧形成：
• sin(∠C) = ^h_a / _b
• 由此可知 h_a = b × sin(∠C).
• 将高度h_a代入面积的经典公式， 得到：

• 三角公式：:

• 三角形面积 = ¹/₂ × a × b × sin(∠C)

注意： 三角形面积将使用第二种方法计算， 该方法涉及较少的步骤和近似值。

• 海伦公式

• 给定三角形的三边长度， 可以使用海伦公式计算三角形的面积：
• 三角形面积² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
• 其中：
• a、 b、 c 是三角形三边的长度
• s 是三角形的半周长， 上面已经计算过了

• Heron 公式的逐步毕达哥拉斯证明

• 考虑一个三角形 △ABC， 其边 BC = a、 AC = b 且 AB = c。 画出从顶点 A 开始的高度， 与边“a”相对， AD ⊥ BC， D ∈ BC， AD = h。 Ad 将基数“a”分成两段， BD = x 和 CD = a - x。
• 

  海伦公式的三角形△ABC

• 将勾股定理应用到直角三角形△ADB:
• h² + x² = c² =>
• h² = c² - x²
• 将勾股定理应用到直角三角形△ADC：
• h² + (a - x)² = b² =>
• h² = b² - (a - x)²
• 使 h² 的两个表达式相等并求解线段 "x"：
• c² - x² = b² - (a - x)² <=>
• c² - x² = b² - (a² - 2 × a × x + x²) <=>
• c² - x² = b² - a² + 2 × a × x - x² <=>
• c² = b² - a² + 2 × a × x <=>
• 2 × a × x = a² + c² - b² <=>
• x = ^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)}
• 将“x”代入 h² 的公式并计算高度“h”：
• h² = c² - x² <=>
• h² = c² - (^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)})²
• 使用平方差规则对表达式进行因式分解， c² - x² = (c - x) × (c + x):
• h² = ^{((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2)} / _{(2 × a)})² <=>
• h² = ^{(2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(2 × a)²}
• 将 h² 代入三角形面积公式：
• 三角形面积 = ¹/₂ × a × h => 三角形面积² = ¹/₄ × a² × h² =>
• 三角形面积² = ¹/₄ × a² × ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(4 × a²)} <=>
• [1] 三角形面积² = ¹/₁₆ × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
• 用半周长s = ^{(a + b + c)}/₂来表达上面公式[1]的因子：
• => a + b + c = 2 × s
• => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
• => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
• => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
• 重写公式[1]：
• 三角形面积² = ¹/_2⁴ × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
• 三角形面积² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - 海伦公式

三角形面积 ≈ 58,787753826796 ≈ 58,79 平方单位

• 定义： 三角形的高度是从顶点绘制的一条直线段， 垂直于 （以 90 度角） 对边。 每个三角形都有三个高度。 所有三个高度始终在一个点处相互交叉， 该点称为正交中心。
• 

  三角形的三个高度

• 三角形中△ABC h_a是从顶点A开始， 垂直于边BC的高度， h_a ⊥ BC。 h_b 是从顶点 B 开始， 垂直于边 AC 的高度， h_b ⊥ AC。 h_c 从顶点 C 开始， 垂直于边 AB， h_c ⊥ AB。 它们都相交于 H 点， 即重心。

• ---

• 知道三角形的面积和边长， 我们可以分别计算从顶点A、 B、 C到边a、 b、 c的高度h_a、 h_b、 h_c。
• 从经典的面积公式出发：
• 三角形面积 = ¹/₂ × a × h_a =>
• h_a = ^{2 × 三角形面积} / _a ≈ 8,398250546685 ≈ 8,4
• 三角形面积 = ¹/₂ × b × h_b =>
• h_b = ^{2 × 三角形面积} / _b ≈ 9,797958971133 ≈ 9,8
• 三角形面积 = ¹/₂ × c × h_c =>
• h_c = ^{2 × 三角形面积} / _c ≈ 11,757550765359 ≈ 11,76

• 定义： 三角形的中线是连接三角形顶点和对边中点的线段。 每个三角形都有三个中线， 它们交汇于一个中心点， 称为质心、 几何中心或质心。
• 

  三角形的三个中线

• 三角形△ABC中， m_a是顶点A到边BC中点的中线， m_b是顶点B到边AC中点的中线， m_c是顶点C到边AB中点的中线。 它们都相交于 G 点， 即质心、 几何中心或质心。
• 质心 G 将三个中线的长度划分如下：
• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• 阿波罗尼乌斯定理

• == 本节末尾的阿波罗尼乌斯定理证明。 ==
• 在三角形 △ABC 中， 我们知道边“a”、 “b”和“c”的长度 （分别具有相对的顶点 A、B 和 C）， 边的长度与中线 m_a、 m_b 和 m_c 的长度之间存在关系， 其中中线 m_a 从顶点 A 到边“a”， 中线m_b 从顶点 B 到边“b”， m_c 从顶点 A 到边“c”：
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²= 73 =>
• 三角形的中线 m_a ≈ 8,544003745318 ≈ 8,54

• ---

• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²= 112 =>
• 三角形的中线 m_b ≈ 10,583005244258 ≈ 10,58

• ---

• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²= 145 =>
• 三角形的中线 m_c ≈ 12,041594578792 ≈ 12,04

• ---

• 阿波罗尼乌斯定理的证明

• 我们使用余弦定理证明阿波罗尼乌斯定理， 我们在上面计算角度时证明了这一点。
• 

  三角形的三个中线

• 让长度为 m_a 的中值 AM 将长度为“a”的边 BC 分成长度为 BM = CM = ^a/₂ 的两个相等部分。 又AB=c， AC=b， BC=a。
• 令角度∡AMB = θ。 由于直线上的两个角相加为 180°， 则相邻角 ∡AMC = 180° - θ
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• 对三角形△ABM应用余弦定理， 确保在公式中也包含角度∡AMB = θ：
• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ) =>
• [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)
• 对三角形△ACM应用余弦定理， 确保在公式中也包含角度∡AMC = 180° - θ
• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• cos(180° - θ) = - cos(θ)
• 以上关系变为：
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)
• 将两个方程[1]和[2]相加。 术语 m_a ×一个× cos(θ) 和 - m_a ×一个× cos(θ) 相互抵消：
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²)

• 简介

• 角的平分线是角内部的半直角， 原点位于角的顶点， 与角的各条边形成两个全等的角。属于平分线的任何一点到角两侧的距离都相等。
• 

  角的平分线

• 在任何三角形中， 角的平分线都集中在与三角形各边相切的圆心处， 称为三角形的内接圆。 这是适合三角形的最大圆。
• 

  三角形的平分线和内接圆

• 在三角形△ABC中， AA'是角∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ^∠BAC / ₂
• BB' 为角平分线 ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ^∠ABC / ₂
• CC' 为角平分线 ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ^∠ACB / ₂

• ---

• 平分线 AA'、 BB' 和 CC' 相交于点 O， 该点是三角形内切圆的中心。 为什么会发生这种情况？

• ---

• O 是平分线 AA 上的点'， 因此与线段 AB 和 AC 等距 => [1] 点 O 到线段 AB 的距离为 OP， 其中 OP ⊥ AB （⊥ 是垂直线段的符号）， [2] 点 O 到线段 AC 的距离为 ON， 其中 ON ⊥ AC 且 [3] OP ≅ ON。
• O 是平分线 BB 上的点'， 因此与线段 AB 和 BC 等距 => [1]点 O 到线段 AB 的距离为 OP， 其中 OP ⊥ AB， [2]点 O 到线段 BC 的距离为 OM， 其中 OM ⊥ BC 且 [3] OP ≅ OM。
• 根据上面的关系， 可以得出OM = ON = OP = r， 其中r是三角形内切圆的半径

• 要计算三角形内接圆的半径， 用三角形的面积除以它的半周长：
• r = ^{三角形面积} / _s
• 其中：
• r = 三角形内切圆的半径
• s 是三角形的半周长， 上面已经计算过了

• ---

• 为什么是这个公式？ 我们如何证明这一点？
• 三角形面积△ABC=面积△OAB+面积△OBC+面积△OAC = ¹/₂ × OP × AB + ¹/₂ × OM × BC + ¹/₂ × ON × AC = ¹/₂ × r × AB + ¹/₂ × r × BC + ¹/₂ × r × AC = ¹/₂ × r × (AB + BC + AC) = ¹/₂ × r × 周长 = ^周长/₂ × r = 半周长 × r =>
  r = ^{三角形面积} / _半周长 = ^{三角形面积} / _s

• ---

• r = ^{58,787753826796} / ₁₈ ≈ 3,265986323711 ≈ 3,27

• 简介

• 线段的垂直平分线是垂直于穿过线段中间的线段。 属于垂直平分线的任何点到线段两端的距离是等距的。
• 

  三角形的垂直平分线和外接圆

• 在任何三角形中， 三条边的垂直平分线都交于一点， 该点是穿过三角形顶点的圆心， 称为三角形的外接圆。
• 在三角形△ABC中， OM1为线段BC的垂直平分线 => BM1 = CM1 = ^BC / ₂ = ^a / ₂， 其中“a”为线段BC的长度。
• OM2 是线段 AC => AM2 = CM2 = ^AC / ₂ = ^b / ₂ 的垂直平分线， 其中“b”是线段 AC 的长度。
• OM3 是线段 AB 的垂直平分线 => AM3 = BM3 = ^AB / ₂ = ^c / ₂， 其中“c”是线段 AB 的长度。

• ---

• 垂直平分线 OM1、 OM2 和 OM3 相交于点 O， 该点是三角形外接圆的圆心。 为什么会发生这种情况？

• ---

• O为垂直平分线上的点OM1 => BM1 = CM1 = ^a/₂， OM1 ⊥ BC （⊥为线段或垂直线的符号）， OM1公共线段=>直角三角形△OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC。
• O 为垂直平分线上的点 OM2 => AM2 = CM2 = ^b/₂， OM2 ⊥ AC， 与 OM2 公共线段 => 直角三角形 △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC。
• 根据上面的关系， 可以得出OA = OB = OC = R， 其中R是三角形外接圆的半径。

• 要计算 R （三角形外接圆的半径）， 请应用以下公式：
• R = ^{a × b × c} / _{(4 × 三角形面积)}
• 其中：
• a、 b、 c 是三角形三边的长度

• ---

• 为什么是这个公式？ 我们如何证明这一点？
• 正弦定理建立了三角形 （例如 △ABC） 的边 a、 b 和 c 的长度与对角 ∠A、 ∠B 和 ∠C 的正弦值之间的关系：
• [1] ^a/_sin(∠A) = ^b/_sin(∠B) = ^c/_sin(∠C) = 2 × R
• R为三角形△ABC的外接圆半径。
• 在计算面积时， 我们还使用了上面证明的三角形面积的三角公式：
• [2] 三角形面积 = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)

• ---

• 从关系[1]我们可以推断出：
• [3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}
• 代入关系式[2]中的sin(∠A)：
• 三角形面积 = ¹/₂ × b × c × ^a/_{(2 × R)} = ^{a × b × c}/_{(4 × R)} =>
• R = ^{a × b × c}/_{(4 × 三角形面积)}

• ---

• R = ^{14 × 12 × 10}/_{(4 × 58,787753826796)} ≈ 7,144345083118 ≈ 7,14

• 

  三角形△ABC的边长为： BC (a) = 14, AC (b) = 12, AB (c) = 10

使用的符号： + 另外， - 减法， × 乘法， / 部门， = 相等， ≈ 大约， => 逻辑含义， ∠角， ∡ 测量角度， m(∡A) 角度的测量， △三角形， ⌒ 圆弧， ⊥ 垂直， ≅ 一致， π 表示圆的周长与其直径的恒定比， ° 角度测量值的单位 称为度， ∈ 它属于， x² x 的二次方或 x 平方 = x × x， sin(∠A) 角 A 的正弦值， cos(∠A) 角 A 的余弦， arccos(ratio) 给定比率的反余弦.

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