海伦公式 - 使用毕达哥拉斯定理的逐步证明

海伦公式。 使用毕达哥拉斯定理的逐步证明

海伦公式。证明。



  • 苍鹭公式

  • 给定三角形的三边长度， 可以使用海伦公式计算三角形的面积：

  • 三角形的面积2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • 其中：
  • a、 b、 c是三角形三边的长度
  • s 是三角形的半周长 s = P/2
  • P为三角形的周长， P = a + b + c
  • s = (a + b + c)/2

  • 使用勾股定理逐步演示海伦公式

  • 考虑一个三角形△ABC， 其边BC = a， AC = b， AB = c。 从顶点 A 画出与边“a”相对的高度， AD ⊥ BC， D ∈ BC， AD 的长度 = h。 AD 将基数“a”分成两段， 长度为 BD = x 和 CD = a - x。
  • 三角形△ABC和Heron的公式

    三角形△ABC和Heron的公式


将勾股定理应用到直角三角形△ADB:


  • h2 + x2 = c2
  • h2 = c2 - x2

将勾股定理应用到直角三角形△ADC：


  • h2 + (a - x)2 = b2
  • h2 = b2 - (a - x)2

使 h2 的两个表达式相等并求解段“x”：


  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2)
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)

将“x”代入h2的公式并计算高度“h”：


  • h2 = c2 - x2
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • h2 = c2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a)2

将两个分数转换为公分母


  • h2 = c2 × (2 × a)2/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2)/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2

使用平方差规则分解表达式， c2 - x2 = (c - x) × (c + x)


  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2

应用简化的计算公式：
(a2 - 2 × a × c + c2) = (a - c)2
(a2 + 2 × a × c + c2) = (a + c)2


  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2

将 h2 代入面积公式：


  • 三角形的面积 = 1/2 × a × h
  • Area2 = 1/4 × a2 × h2
  • 三角形的面积2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2)
  • 三角形的面积2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)

用半周长s = (a + b + c)/2改写上面最后一个三角形面积公式的因数：


  • s = (a + b + c)/2
  • a + b + c = 2 × s
  • b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)

重写三角形面积的最后一个公式：


  • 三角形的面积2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c)
  • 三角形的面积2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - 苍鹭公式

  • 示例：让我们使用海伦公式计算三角形的面积

  • 让我们计算边长为 a = 12、 b = 17 和 c = 14 个单位的三角形的面积。

  • 三角形的面积2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 21,5 × (21,5 - 12) × (21,5 - 17) × (21,5 - 14) =
  • 21,5 × 9,5 × 4,5 × 7,5 =
  • 6.893,4375 ≈
  • 6.893,44

三角形的面积 ≈ 83,026727624302 ≈ 83,03 平方单位