直角三角形中的余弦和反余弦

• 定义

• 定义1： 余弦 - 在直角三角形中， 角的余弦表示与该角相邻的边与斜边的比率。
• cos(∠A) = ^c/_b
• 

  余弦和反余弦

• 定义2： Arccos （反余弦） - 这是标准余弦数学函数的反函数。 余弦函数接受一个角度并返回相应的比率， 而 arccos 接受一个比率并返回相应的角度。
• 由于 cos 和 arccos 是反函数， 所以 arccos(cos(∡A)) = ∡A。 如果我们将函数 arccos 应用于上面的等式：
• cos(∡A) = ^c/_b => arccos(cos(∡A)) = arccos(^c/_b) <=>
• ∡A = arccos(^c/_b) =>
• arccos(^c/_b) = 角度∡A的测量

• 补角的余弦

• 定义： 如果两个角度的测量总和等于 180 度 （π 弧度）， 则这两个角度是互补的。
• 示例： 120° 是 60° 的补充， 因为 120° + 60° = 180°。
• 补角余弦公式：

cos(180° - θ) = - cos(θ)

• 我们如何证明这个公式？
• 在正交轴 xOy 的系统上， 我们有一个以 O 为圆心、 半径为 r 的圆。
• 我们选择圆上的点 A， 使得线段 OA 与轴 Ox 所成的角度等于 θ。 C是A点在Ox轴上的投影， 即AC垂直于Ox。 => 在直角三角形△AOC中， 角∡AOC的度量为m(∡AOC) = θ.
• 

  补角的余弦

• 我们选择圆上的B点， 使得线段OB与轴Ox所成的角度等于(180° - θ)。 D是B点在Ox轴上的投影， 即BD垂直于Ox。 => 在直角三角形△BOD中， 角∡BOD的大小为m(∡BOD) = θ.
• 直角三角形△AOC和△BOD全等 （角度， θ， 斜边， r）=> OC与OD全等， OC≅OD。
• 角度∡AOC和∡BOC的余弦为：

但是 OD = - OC （它们具有相同的长度， 是全等的线段， 但就 Ox 而言位于不同的象限）。

• => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - ^OC/_r = - cos(θ)
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)

• 计算示例

• 示例1： 计算余弦
• 在直角三角形中， 角∡B = 90°， 边长b = 10， 边长c = 6， 角∠A的余弦计算为：
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  余弦和反余弦

cos(∠A) = ^c/_b = ⁶/₁₀ = ³/₅ = 0,6