毕达哥拉斯定理， 用平方证明

• 毕达哥拉斯定理

• 在任何直角三角形中， 斜边的平方和等于斜边的平方：

• c² = a² + b²
• 哪里：
• a和b是两个导管的长度
• c是斜边的长度

• 广义毕达哥拉斯定理

• 广义毕达哥拉斯定理， 也称为余弦定理， 利用给定三角形的一条边和另外两条边之间的角度的余弦， 建立了这两条边的长度之间的关系， 如下所示：

c² = a² + b² - 2 × a × c × cos(∠C)

但是， 如果角度∠C的度量为m(∡C) = 90° => cos(90°) = 0， 则广义勾股定理的公式就变成了经典勾股定理：

c² = a² + b²

• » 点击查看直角三角形中的余弦和反余弦定义
• » 点击查看余弦定理或广义毕达哥拉斯定理。 公式与证明

• 1. 我们构建一个边长为 L = a + b 的正方形

• 我们在这个正方形内放置四个全等的直角三角形。 这些直角正方形的管状长度分别为 a 和 b， 如相邻的图中所示。
• 四个斜边的长度等于c。
• 

  使用平方演示勾股定理

• 四个三角形全等， 且角度 α + β = 90°。
• 事实证明， 角度 γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°。
• 所以可知c边的多边形是正方形。

• 2. 我们通过两种方法计算大正方形的面积

• 大正方形的面积 撤消括号_L， 最简单的可以通过边相乘得到：

正方形的面积_L = L × L = L² = (a + b)²

但是， 大正方形的面积 撤消括号_L 也可以通过将构成它的几何形状 （即四个全等的直角三角形和位于中心的 c 边的较小正方形） 的面积相加来获得：

正方形的面积_L = 4 × ¹/₂ × a × b + c × c = 2 × a × b + c²

• 3. 我们让这两个关系相等：

• 两个方程都表示大正方形 撤消括号_L的面积， 计算方式不同， 因此它们彼此相等。

2 × a × b + c² = (a + b)²

撤消括号：

2 × a × b + c² = a² + 2 × a × b + b²

我们划掉等式两边的公项“2×a×b”， 得到勾股定理：

c² = a² + b²

• 为什么勾股定理很重要

• 毕达哥拉斯定理建立了直角三角形边长之间的关系。
• 应用毕达哥拉斯定理我们可以判断三角形是否是直角三角形。
• 毕达哥拉斯定理有许多实际应用： 在几何学中， 它是三角学的基础， 它用于计算地图上两点之间的距离， 它是数字地图上定位系统或建立路线的基础， 它在建筑和建筑中用于构造 90 度角， 在物理和工程中用于分解力或速度。

• 示例1： 直角三角形斜边的计算

• 我们有一个直角三角形， 其长度为 a = 3 且 b = 4， 让我们计算斜边的长度 c。

• 示例2： 我们检查三角形是否是直角

• 我们有一个边长为 a = 4、 b = 7 和 c = 8 的三角形， 让我们检查一下它是否是直角三角形。
• 我们假设三角形是直角， 我们应用毕达哥拉斯定理看看它是否得到验证。

毕达哥拉斯定理尚未验证， 因此三角形不是直角。