阿波罗尼乌斯定理。 公式及证明

• 三角形的中线

• 定义： 三角形的中线是连接三角形的一个顶点到对边中点的线段。
• 每个三角形都有三个中线， 它们交汇于一个中心点， 称为质心。
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  三角形的三个中线

• 在三角形△ABC中， m_a是顶点A到边BC中点的中线， m_b是顶点B到边AC中点的中线， m_c是顶点C到边AB中点的中线。 所有中线相交于质心 G 点。
• G点将三个中线的长度划分如下：

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• 阿波罗定理

• 在三角形△ABC中， 我们知道边长“a”、 “b”和“c”， 分别具有对角顶点A、 B和C， 边长与中线长度m_a、 m_b和m_c之间存在关系， 其中中线m_a是从顶点A得出的到“a”边， 从顶点 B 到“b”边绘制中值 m_b， 从顶点 C 到“c”边绘制中值 m_c：

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• 阿波罗尼乌斯定理的证明

• 我们使用余弦定理证明阿波罗尼乌斯定理， 也称为广义毕达哥拉斯定理， 也用于计算三角形中的角度。
• » 余弦定律或广义毕达哥拉斯定理。 公式及其证明
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  三角形的三个中线 阿波罗尼乌斯定理的证明

• 让长度为 m_a 的中位数 AM， 将长度为“a”的边 BC 分成长度为 BM = CM = ^a/₂ 的两个相等部分。 还有 AB = c, AC = b, BC = a 的长度。
• 令角度∡AMB = θ。 由于直线上两个角之和等于180°， 则相邻角∡AMC = 180° - θ

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » 直角三角形中的余弦和反余弦

对三角形△ABM应用余弦定理， 确保在公式中也包括角度∡AMB = θ

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

对三角形△ACM应用余弦定理， 确保在公式中也包含角度∡AMC = 180° - θ

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• 替换表达式： cos(180° - θ) = - cos(θ)
• 上面的初始关系变为：
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• 将两个方程[1]和[2]相加。 “m_a × a × cos(θ)”项与“- m_a × a × cos(θ)”项相互抵消：

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - 阿波罗定理

• 计算示例

• 如果所有边长都给定， 我们来计算三角形的中线 m_a、 m_b 和 m_c： a = 12、 b = 10 和 c = 8。
• 应用阿波罗尼乌斯定理并求解中位数：