给定三边长度， 如何计算三角形中线的长度

学习在给定边长的情况下计算三角形中线的长度。 阿波罗尼乌斯定理

三角形的中线。 边的长度。 阿波罗尼乌斯定理



  • 三角形的中线

  • 定义： 三角形的中线是连接三角形的一个顶点到对边中点的线段。
  • 每个三角形都有三个中线， 它们交汇于一个中心点， 称为质心。
  • 三角形的三个中线

    三角形的三个中线

  • 在三角形△ABC中， ma是顶点A到边BC中点的中线， mb是顶点B到边AC中点的中线， mc是顶点C到边AB中点的中线。 所有中线相交于质心 G 点。
  • G点将三个中线的长度划分如下：

  • AG/AM = BG/BP = CG/CN = 2/3
  • GM/AM = GP/BP = GN/CN = 1/3
  • GM/AG = GP/BG = GN/CG = 1/2

  • 阿波罗定理

  • 在三角形△ABC中， 我们知道边长“a”、 “b”和“c”， 分别具有对角顶点A、 B和C， 边长与中线长度ma、 mb和mc之间存在关系， 其中中线ma是从顶点A得出的到“a”边， 从顶点 B 到“b”边绘制中值 mb， 从顶点 C 到“c”边绘制中值 mc：

  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 = (b2 + c2)/2 - (a/2)2
  • a2 + c2 = 2 × (mb2 + (b/2)2) =>
  • mb2 = (a2 + c2)/2 - (b/2)2
  • a2 + b2 = 2 × (mc2 + (c/2)2) =>
  • mc2 = (a2 + b2)/2 - (c/2)2

» 阿波罗尼乌斯定理和三角形中线。 公式。 证明


如何计算三角形中线的长度

  • 示例编号1

  • 等腰三角形中三个中线中的两个应该相等。 我们来计算这三个中位数 ma、 mb 和 mc， 看看其中两个是否相等。 边长为： a = 10、 b = 6 和 c = 10。
  • 应用阿波罗尼乌斯定理并求解中位数：

  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 =
  • (b2 + c2)/2 - (a/2)2 =
  • (62 + 102)/2 - (10/2)2 =
  • (36 + 100)/2 - 52 =
  • 136/2 - 25 =
  • 68 - 25 =
  • 43
  • => 中位数 ma ≈ 6,557438524302 ≈ 6,56

  • a2 + c2 = 2 × (mb2 + (b/2)2) =>
  • mb2 =
  • (a2 + c2)/2 - (b/2)2 =
  • (102 + 102)/2 - (6/2)2 =
  • (100 + 100)/2 - 32 =
  • 200/2 - 9 =
  • 100 - 9 =
  • 91
  • => 中位数 mb ≈ 9,53939201417 ≈ 9,54

  • a2 + b2 = 2 × (mc2 + (c/2)2) =>
  • mc2 =
  • (a2 + b2)/2 - (c/2)2 =
  • (102 + 62)/2 - (10/2)2 =
  • (100 + 36)/2 - 52 =
  • 136/2 - 25 =
  • 68 - 25 =
  • 43
  • => 中位数 mc = 6,557438524302 ≈ 6,56

我们可以看到两个中位数相等， 即对应全等边的中位数， ma ≅ mc


  • 示例编号2

  • 30度直角三角形中对应斜边的中线长度应为斜边长度的一半。 该三角形的边长如下： a = 10 （斜边）、 b = 5 和 c = 8,66025。 让我们计算这个直角三角形对应于斜边的中值 ma， 并检查上述规则。
  • 应用阿波罗尼乌斯定理并求解中位数：

  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 =
  • (b2 + c2)/2 - (a/2)2 =
  • (52 + 8,660252)/2 - (10/2)2 =
  • (25 + 74,9999300625)/2 - 52 =
  • 99,9999300625/2 - 25 =
  • 49,99996503125 - 25 =
  • 24,99996503125
  • => 中位数 ma ≈ 4,9999965031238 ≈ 5

我们可以看到斜边对应的中位数长度ma是斜边长度的一半。


  • 示例编号3

  • 如果所有边长都给定， 我们来计算三角形的中线 ma、 mb 和 mc： a = 10、 b = 6 和 c = 10。
  • 应用阿波罗尼乌斯定理并求解中位数：

  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 =
  • (b2 + c2)/2 - (a/2)2 =
  • (102 + 82)/2 - (12/2)2 =
  • (100 + 64)/2 - 62 =
  • 164/2 - 36 =
  • 82 - 36 =
  • 46
  • => 中位数 ma ≈ 6,782329983125 ≈ 6,78

  • a2 + c2 = 2 × (mb2 + (b/2)2) =>
  • mb2 =
  • (a2 + c2)/2 - (b/2)2 =
  • (122 + 82)/2 - (10/2)2 =
  • (144 + 64)/2 - 52 =
  • 208/2 - 25 =
  • 104 - 25 =
  • 79
  • => 中位数 mb ≈ 8,888194417316 ≈ 8,89

  • a2 + b2 = 2 × (mc2 + (c/2)2) =>
  • mc2 =
  • (a2 + b2)/2 - (c/2)2 =
  • (122 + 102)/2 - (8/2)2 =
  • (144 + 100)/2 - 42 =
  • 244/2 - 16 =
  • 122 - 16 =
  • 106
  • => 中位数 mc = 10,29563014099 ≈ 10,3