已知三角形的三边长度： 489、 743 和 568， 求解三角形。 三角形计算器： 角度、 面积、 （半） 周长、 高度、 中线、 圆半径

• π (PI)、 弧度、 度数的三个定义。 角度测量。 它们之间的换算

• π (PI)

• 定义： π 表示圆的周长 （圆的长度） C 与其直径 d 的恒定比率 （d = 2 × r，其中 r 是圆的半径）。
• π 约为 3.14159， 通常估计为分数 ²²/₇。
• π = ^C/_d = ^C/_{(2 × r)}
• 

  角度测量： π。 弧度。 度

• 弧度

• 定义： 弧度是角度测量的标准单位。 弧度等于圆弧的长度等于同一个圆的半径时形成的角度。
• 圆 （任何圆） 的周长 （长度） 正好有 2π 弧度。
• 1 弧度大约为 57.296° （度）。
• 360° = 2π 弧度、 180° = π 弧度、 90° = ^π/₂ 弧度、45° = ^π/₄ 弧度的角度。

• 度

• 定义： 角度通常以度 (°) 为单位测量。 度<​​/mark>是角度测量的标准单位。
• 完整的圆形成的角度是360°。
• 钝角的尺寸介于 (90° 和 180°) 之间。 直角是 90°。 锐角的尺寸介于 (0° 和 90°) 之间。

• 从度数转换为弧度

• 60° （度） 转弧度
• 360° 度的角度对应于 2 × π 弧度的角度， 或者更简单地说， 180° 度的角度对应于 π 弧度的角度。 将 60° 角的测量值转换为弧度。使用简单的三法则：

• 180° ... π 弧度
• 60° ... ... r 弧度
• r = ^{(60° × π 弧度)} / _{(180° × 弧度)} = ^π/₃ ≈ 1.047197551197
• 60° ≈ 1.047197551197 弧度

• 从弧度转换为度

• 1.570797 弧度换算为度
• π弧度的角对应于180°的角。 将 1.570797 弧度的角度转换为度数。 使用简单的三法则：

• π 弧度 ... ... ... ... 180°
• 1,570797 弧度 ... d 度
• d = ^{(1,570797 弧度 × 180°)} / _{(π 弧度 × 度)} ≈ ¹⁸⁰/₂ = 90
• 1,570797 弧度 ≈ 90 度 = 90°

• 定义

• 定义1： 余弦 - 在直角三角形中， 角的余弦表示与该角相邻的边与斜边的比率。
• cos(∠A) = ^c/_b
• 

  余弦和反余弦

• 定义2： Arccos （反余弦） - 这是标准余弦数学函数的反函数。 余弦函数接受一个角度并返回相应的比率， 而 arccos 接受一个比率并返回相应的角度。
• 由于 cos 和 arccos 是反函数， 所以 arccos(cos(∡A)) = ∡A。 如果我们将函数 arccos 应用于上面的等式：
• cos(∡A) = ^c/_b => arccos(cos(∡A)) = arccos(^c/_b) <=>
• ∡A = arccos(^c/_b) =>
• arccos(^c/_b) = 角度∡A的测量

• 补角的余弦

• 定义： 如果两个角度的测量总和等于 180 度 （π 弧度）， 则这两个角度是互补的。
• 示例： 120° 是 60° 的补充， 因为 120° + 60° = 180°。
• 补角余弦公式：

cos(180° - θ) = - cos(θ)

• 我们如何证明这个公式？
• 在正交轴 xOy 的系统上， 我们有一个以 O 为圆心、 半径为 r 的圆。
• 我们选择圆上的点 A， 使得线段 OA 与轴 Ox 所成的角度等于 θ。 C是A点在Ox轴上的投影， 即AC垂直于Ox。 => 在直角三角形△AOC中， 角∡AOC的度量为m(∡AOC) = θ.
• 

  补角的余弦

• 我们选择圆上的B点， 使得线段OB与轴Ox所成的角度等于(180° - θ)。 D是B点在Ox轴上的投影， 即BD垂直于Ox。 => 在直角三角形△BOD中， 角∡BOD的大小为m(∡BOD) = θ.
• 直角三角形△AOC和△BOD全等 （角度， θ， 斜边， r）=> OC与OD全等， OC≅OD。
• 角度∡AOC和∡BOC的余弦为：

但是 OD = - OC （它们具有相同的长度， 是全等的线段， 但就 Ox 而言位于不同的象限）。

• => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - ^OC/_r = - cos(θ)
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)

• 计算示例

• 示例1： 计算余弦
• 在直角三角形中， 角∡B = 90°， 边长b = 10， 边长c = 6， 角∠A的余弦计算为：
• 

  余弦和反余弦

cos(∠A) = ^c/_b = ⁶/₁₀ = ³/₅ = 0,6

余弦定理， 或广义毕达哥拉斯定理

余弦定理， 或者广义毕达哥拉斯定理指出， 在任何三角形 △ABC 中， 边 a、 b 和 c 的长度与角 ∠A、 ∠B 和 ∠C 的余弦值之间存在以下三种关系：

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• 哪里：
• a = 三角形对角∠A的边
• b = 三角形对角∠B的边
• c = 三角形对角∠C的边

它也被称为广义毕达哥拉斯定理， 因为它适用于所有三角形。 当∠A、 ∠B、 ∠C为直角时， cos(90°) = 0， 使多余的部分消失， 留下经典勾股定理：

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b²

» 毕达哥拉斯定理， 用平方证明

• 余弦定理的证明

• 在任意非直角三角形△ABC中， 边长BC=a、 AC=b、 AB=c， 从顶点A画垂直于边BC的垂线， 与BC相交于点D。 边长： AD = h_a， BD = a1 和 CD = a2， 其中 a1 + a2 = a。
• 

  余弦定理的证明

在直角三角形△ABD中， 我们有如下三角关系：

在直角三角形△ADC中应用勾股定理：

代入上式中的h_a和a1：

在直角三角形△ABD中应用勾股定理：

替换b²最后一个公式中的^{(h_a2 + a12)}/_c²：

通过将垂线 h_b 和 h_c 画到三角形的另外两条边上， 我们也可以以同样的方式证明余弦定理的另外两种关系。

• 何时使用该法则

• 余弦定理可用于：
• 1. 如果我们知道三角形的另外两条边的长度和对角的测量值 （边 - 角 - 边）， 求三角形中一条边的未知长度。
• 2. 当我们知道三角形的所有三个边长 （边 - 边 - 边） 时， 求三角形中角度的未知量度。
• 为此， 请重写余弦定律以突出显示角度的余弦， 然后对等式两边应用函数 arccos。
• 由于 cos 和 arccos 是反函数， arccos(cos(∡B)) = ∡B:

» 直角三角形中的余弦和反余弦

同样的过程可用于演示其他两个角度∠A 和 ∠C 的测量公式。

• 计算示例

• 示例1： 在已知对角和另外两条边的情况下计算边长
• 在给定两条边长的三角形中， a = 5， c = 7， 它们之间的角度为∡B = 54°， 计算边b的长度：
• 将给定数据输入余弦定律的三个方程之一。
• 使用计算器计算函数cos(54°)。
• b² = 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos(54°) = 74 - 70 × 0,5877852522925 = 74 - 41,144967660475 = 32,855032339525
• b²的平方根 = 32,855032339525 => b = 5,7319309433667 ≈ 5,73
• 示例2： 在给定所有三个边长的情况下计算角度的测量值
• 在边长为a = 5、 b = 5.73、 c = 7的三角形中， 计算角∠B的尺寸：
• 将给定数据输入余弦定律的三个方程之一， 并根据角度重新排列。
• 让我们记住： a² - b² = (a + b) × (a - b).
• 使用计算器计算函数arccos()。
• m(∡B) = arccos(^{(52 + 72 - 5,732)} / _{(2 × 5 × 7)}) = arccos(^{(25 + (7 + 5,73) × (7 - 5,73)} / ₇₀) = arccos(^{(25 + 12,73 × 1,27)} / ₇₀) = arccos(⁴¹ / ₇₀) = arccos(0,5881014285714) = 53,977604748002° ≈ 53,98°.

• 边长 - 角度 - 边长

• 这种计算三角形面积的方法需要知道两条边的长度以及它们之间的角度的大小。
• 在边长BC = a、AC = b、AB = c的三角形△ABC中， a和b的长度已知， 角∠C的尺寸也已知。

• 我们从三角形面积的经典公式开始：

• 三角形的面积 = ¹/₂ × a × h_a
• 哪里：
• a = 三角形对角∠A的边
• h_a = 从顶点 A 到长度为“a”(BC) 的边的高度 AD， 其中 D 属于包含线段 BC 的线。
• 

  高度 h_a 表示为边“b”和角度 ∠C' 正弦的函数；

• == 但是我们不知道高度 h_a 的长度。 接下来做什么？ ==
• 利用三角学的概念， 在高度 h_a 右侧形成的直角三角形 ΔADC (∡D = 90°) 中， 我们有：
• sin(∠C) = ^h_a / _b => h_a = b × sin(∠C).
• 将高度h_a代入三角形面积的经典公式， 得到：

• 三角公式：

• 三角形的面积 = ¹/₂ × a × b × sin(∠C)

• 使用勾股定理逐步演示海伦公式

• 考虑一个三角形△ABC， 其边BC = a， AC = b， AB = c。 从顶点 A 画出与边“a”相对的高度， AD ⊥ BC， D ∈ BC， AD 的长度 = h。 AD 将基数“a”分成两段， 长度为 BD = x 和 CD = a - x。
• 

  三角形△ABC和Heron的公式

将勾股定理应用到直角三角形△ADB:

将勾股定理应用到直角三角形△ADC：

» 毕达哥拉斯定理， 用平方证明

使 h² 的两个表达式相等并求解段“x”：

将“x”代入h²的公式并计算高度“h”：

将两个分数转换为公分母

使用平方差规则分解表达式， c² - x² = (c - x) × (c + x)

应用简化的计算公式：
(a² - 2 × a × c + c²) = (a - c)²
(a² + 2 × a × c + c²) = (a + c)²

将 h² 代入面积公式：

用半周长s = ^{(a + b + c)}/₂改写上面最后一个三角形面积公式的因数：

重写三角形面积的最后一个公式：

• 阿波罗定理

• 在三角形△ABC中， 我们知道边长“a”、 “b”和“c”， 分别具有对角顶点A、 B和C， 边长与中线长度m_a、 m_b和m_c之间存在关系， 其中中线m_a是从顶点A得出的到“a”边， 从顶点 B 到“b”边绘制中值 m_b， 从顶点 C 到“c”边绘制中值 m_c：

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• 阿波罗尼乌斯定理的证明

• 我们使用余弦定理证明阿波罗尼乌斯定理， 也称为广义毕达哥拉斯定理， 也用于计算三角形中的角度。
• » 余弦定律或广义毕达哥拉斯定理。 公式及其证明
• 

  三角形的三个中线 阿波罗尼乌斯定理的证明

• 让长度为 m_a 的中位数 AM， 将长度为“a”的边 BC 分成长度为 BM = CM = ^a/₂ 的两个相等部分。 还有 AB = c, AC = b, BC = a 的长度。
• 令角度∡AMB = θ。 由于直线上两个角之和等于180°， 则相邻角∡AMC = 180° - θ

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » 直角三角形中的余弦和反余弦

对三角形△ABM应用余弦定理， 确保在公式中也包括角度∡AMB = θ

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

对三角形△ACM应用余弦定理， 确保在公式中也包含角度∡AMC = 180° - θ

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• 替换表达式： cos(180° - θ) = - cos(θ)
• 上面的初始关系变为：
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• 将两个方程[1]和[2]相加。 “m_a × a × cos(θ)”项与“- m_a × a × cos(θ)”项相互抵消：

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - 阿波罗定理

• 什么是角的平分线？

• 角的平分线是角内部以原点为顶点的线段， 它与角的各边形成两个较小的全等角。
• 重要： 任何属于平分线的点到角两侧的距离都相等。
• 

  角的平分线

• 如何求三角形内切圆的圆心？

• 在任何三角形中， 角平分线都交于完全相同的点， 该点是与三角形各边相切的圆的中心， 称为三角形的内切圆。 这是三角形内最大的圆。
• 

  三角形的平分线和内接圆

• 在三角形△ABC中：
• AA'是角∠BAC的平分线 => ∠BAA' = ∠CAA' = ^∠BAC / ₂
• BB'是角∠ABC的平分线 => ∠ABB' = ∠CBB' = ^∠ABC / ₂
• CC'是角∠ACB的平分线 => ∠ACC' = ∠BCC' = ^∠ACB / ₂

平分线 AA'、 BB' 和 CC' 相交于点 O， 该点是三角形内切圆的中心。

• 为什么平分线的交点是三角形的内接圆心？

• O 是平分线 AA' 上的点，因此它与线段 AB 和 AC 等距 =>
• [1] 点O到线段AB的距离为OP， 其中OP⊥AB （⊥是垂直线段的符号）；
• [2] 点O到线段AC的距离为ON， 其中ON⊥AC；
• [3] OP ≅ ON.

• ---

• O 是平分线 BB' 上的点， 因此它与线段 AB 和 BC 等距 =>
• [1] 点O到线段AB的距离为OP， 其中OP⊥AB；
• [2] 点O到线段BC的距离为OM， 其中OM⊥BC；
• [3] OP ≅ OM.

• ---

• 根据上述关系， 可得出 OP ⊥ AB、 OM ⊥ BC、 ON ⊥ AC 且 OM = ON = OP = r， 其中 r 为三角形内接圆的半径。

• 注释：
• 三角形内接圆是可以在三角形内绘制的最大圆， 并且与三角形的所有三个边都相切。
• 当直线和圆恰好有一个公共点时， 圆与直线相切。 圆心与直线的切点所形成的线段垂直于直线。

• 为什么是这个公式？ 让我们仔细看看

• 在三角形△ABC中， AA'、 BB'和CC'分别是角∠BAC、 ∠ABC和∠ACB的平分线， 我们将其面积计算为三个较小三角形△OAB、 △OBC和△OAC之和：
• 

  三角形的平分线和内切圆

三角形的面积 = s × r    =>    r = ^{三角形的面积} / _s

• 线段的垂直平分线

• 线段的垂直平分线是垂直于线段且穿过线段中间的线。
• 重要： 任何属于垂直平分线的点到线段两端的距离都是等距的。

• 三角形各边的垂直平分线

• 在任何三角形中， 边的垂直平分线都交于一点， 该点是穿过三角形顶点的圆心， 称为三角形的外接圆。
• 

  三角形的垂直平分线和外接圆的圆心

• 三角形△ABC中， OM1为线段BC的垂直平分线 =>
  BM1 = CM1 = ^BC / ₂ = ^a / ₂. 线段BC的长度=a。
• OM2是线段AC的垂直平分线 =>
  AM2 = CM2 = ^AC / ₂ = ^b / ₂. 线段AC的长度=b。
• OM3是线段AB的垂直平分线 =>
  AM3 = BM3 = ^AB / ₂ = ^c / ₂. 线段AB的长度=c。

• 垂直平分线 OM1、 OM2 和 OM3 相交于点 O， 该点是三角形外接圆的圆心。

• 为什么垂直平分线在外接圆的中心重合？

• O是垂直平分线OM1上的点 => BM1 = CM1 = ^a/₂; OM1 ⊥ BC (⊥是线段或垂直线的符号); 且OM1是公共段 => 直角三角形△OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
• O是垂直平分线OM2上的一点 => AM2 = CM2 = ^b/₂; OM2 ⊥ AC; 且OM2是公共段 => 直角三角形△OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
• 根据上述关系， 有OA = OB = OC = R， 其中R为三角形外接圆的半径。

• 如何证明外接圆半径的计算公式？

• 我们使用正弦定则和三角形面积的三角公式来演示上面的半径公式。
• 1) 正弦定理建立了三角形△ABC的边a、 b、 c的长度与对角∠A、 ∠B和∠C的正弦值之间的关系：

• [1] ^a / _sin(∠A) = ^b / _sin(∠B) = ^c / _sin(∠C) = 2 × R
• 哪里：
• R为三角形△ABC的外接圆半径
• a、 b、 c为三角形△ABC的三边长
• ∠A、∠B、∠C为三角形△ABC的内角

» 三角形的正弦定理， 外接圆的证明

• 2) 面积的三角公式规定， 三角形的面积等于三角形两条边的长度与它们之间的角度的正弦乘积的一半：
• 

  三角形△ABC和三角形面积的三角公式

• 三角形的面积 = ¹/₂ × a × b × sin(∠C)
• 三角形的面积 = ¹/₂ × a × c × sin(∠B)
• [2] 三角形的面积 = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)
• 哪里：
• a、 b、 c为三角形△ABC的边长
• ∠A、 ∠B、 ∠C分别是a、 b、 c对边的角

» 在给定两条边的长度和它们之间的角度的情况下， 如何计算三角形的面积。 三角函数公式

根据正弦定理的关系式[1]， 可以推导出角∠A的正弦公式：

[3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}

代入面积三角公式中关系式[2]中的sin(∠A)：

求解上述关系式中的面积R， 从而证明三角形外接圆半径的计算公式：

R = ^{a × b × c} / _{(4 × 三角形的面积)}