直角三角形中的正弦和反正弦

• 定义

• 定义1： 正弦 - 在直角三角形中， 角的正弦表示该角的对边与斜边的比率。
• sin(∠A) = ^a/_b
• 

  正弦和反正弦

• 定义2： Arcsin（反正弦） - 这是标准正弦数学函数的反函数。 正弦函数接受一个角度并返回相应的比率， 而 arcsin 接受一个比率并返回相应的角度。
• 由于sin和arcsin是反函数， 所以arcsin(sin(∡A)) = ∡A。 如果我们将函数 arcsin 应用于上面的等式：
• sin(∡A) = ^a/_b => arcsin(sin(∡A)) = arcsin(^a/_b) <=>
• ∡A = arcsin(^a/_b) =>
• arcsin(^a/_b) = 角度∡A的测量

• 补角的正弦

• 定义： 如果两个角度的测量总和等于 180 度 （π 弧度）， 则这两个角度是互补的。
• 示例： 110° 是 70° 的补充， 因为 110° + 70° = 180°。
• 补角正弦公式：

sin(180° - θ) = sin(θ)

• 我们如何证明这个公式？
• 在正交轴 xOy 的系统上， 我们有一个以 O 为圆心、 半径为 r 的圆。
• 我们选择圆上的点 A， 使得线段 OA 与轴 Ox 所成的角度等于 θ。 C是A点在Ox轴上的投影， 即AC垂直于Ox。 => 在直角三角形△AOC中， 角∡AOC的度量为m(∡AOC) = θ.
• 

  补角的正弦

• 我们选择圆上的B点， 使得线段OB与轴Ox所成的角度等于(180° - θ)。 D是B点在Ox轴上的投影， 即BD垂直于Ox。 => 在直角三角形△BOD中， 角∡BOD的大小为m(∡BOD) = θ.
• 直角三角形△AOC和△BOD全等 （角、 θ、 斜边、 r） => AC与BD全等， AC≅BD。
• 角度∡AOC和∡BOC的正弦为：

但是 BD = AC （它们具有相同的长度， 是全等的线段， 并且在 Ox 方面处于相似的象限）。

• => sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = ^AC/_r = sin(θ)
• => sin(180° - θ) = sin(θ)

• 计算示例

• 示例1： 计算正弦
• 在直角三角形中， 角∡B = 90°， 边长b = 10 （角∡B的对边）， 边长a = 4 （角∡A的对边）， 角∠A的正弦计算为：
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  正弦和反正弦

sin(∠A) = ^a/_b = ⁴/₁₀ = ²/₅ = 0,4

• 示例2： 计算反正弦
• 在直角三角形中， 角∡B = 90°， 边长b = 10 （角∡B的对边）， 边长a = 4 （角∡A的对边）， 角∡A的大小计算如下：
• arcsin(sin(∠A)) = 角度∡A的测量 = arcsin(^a/_b) = arcsin(⁴/₁₀) = arcsin(²/₅) = arcsin(0,4) = 23,578178478202° ≈ 23,58°.